नमस्कार दोस्तों, आज की इस लेख में आप एक चर में रेखीय समीकरण के बारे में पढ़ेंगे। इसके पहले, आपने भाषा के बारे में पढ़ा था।
एक चर में रेखीय समीकरण
गणितीय कथन: ऐसे वाक्य जिनका सत्य या असत्य होना सुनिश्चित हो, कथन कहलाता है।
उदाहरणार्थ:- 2 + 6 = 8 (सत्य)
6 > 4 (सत्य)
3 < 1 (असत्य)
समानता सूचक कथन: जिन कथनों में समानता सूचक चिन्ह ‘=’ का प्रयोग किया गया हो, वे सभी कथन समानता सूचक कथन कहलाते हैं।
उदाहरणार्थ:- 3𝒙 + 1 = 7
समानता सूचक चिन्ह:- समीकरण का समानता सूचक चिन्ह यह दर्शाता है कि समीकरण के चर के विशिष्ट मान के लिए इस समानता चिन्ह के बायीं ओर के व्यंजक ( बायां पक्ष ) का मान और चिन्ह के दायीं ओर के व्यंजक ( दायां पक्ष ) का मान परस्पर बराबर है।
उदाहरणार्थ:- 5𝒙 – 10 = 15
समीकरण:- समीकरण, चर पर एक प्रतिबंध है। इसके अंतर्गत एक चर वाला व्यंजक और एक निश्चित संख्या को बराबर लिखते हैं।
उदाहरणार्थ:- 𝒙 + 7 = 9, 5𝒙 = 20
रेखीय समीकरण:- जब किसी समीकरण में उपस्थित चर की अधिकतम घात एक होती है, तो ऐसे समीकरण को रेखीय समीकरण कहते हैं।
अथवा
ऐसा समानता सूचक कथन जिसमें प्रयुक्त चर की घात 1 हो, रेखीय समीकरण कहलाता है।
उदाहरणार्थ:- 2𝒙 + 3 = 5, 7𝒙 – 5 = 9
समीकरण का पक्ष:- सभी समीकरणों में ‘ = ’ चिन्ह के दोनों तरफ कुछ संख्याएं होती हैं।
इसमें ‘ = ’ के बाएं ओर का व्यंजक बायाँ पक्ष और दाहिनी ओर का व्यंजक दायाँ पक्ष कहलाता है।
11𝒙 – 3 = 19
← →
बायाँ पक्ष दायाँ पक्ष
समीकरण का हल:- कोई समीकरण चर के जिस निश्चित मान के लिए संतुष्ट होता है, वह मान समीकरण का हल कहलाता है।
अथवा
वह संख्या जो चर के किसी विशिष्ट मान को चर के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर समीकरण के दोनों पक्षों को संतुष्ट कर देती है, उस समीकरण का हल कहलाती है।
समीकरण के हल को समीकरण का मूल भी कहा जाता है।
उदाहरणार्थ:- 3 + 𝒙 = 5
यह समीकरण यह व्यक्त करता है कि 3 में 𝒙 जोड़ने पर योगफल 5 होता है। स्पष्ट है कि यहां पर 𝒙 का मान 2 है; क्योंकि 3 में 2 जोड़ने पर ही 5 प्राप्त होता है।
अतः 2 ही समीकरण का हल है।
समीकरण को निम्नलिखित दो विधियों से हल किया जाता है:-
- समीकरण को हल करने की त्रुटि एवं प्रयत्न विधि
- समीकरण को हल करने की उपयुक्त विधि
- समीकरण को हल करने की पक्षांतर विधि
समीकरण को हल करने की त्रुटि एवं प्रयत्न विधि:- इस विधि में हम चर को कोई मान देकर जांच करते हैं कि यह मान समीकरण को संतुष्ट करता है या नहीं। समीकरण में हम चर को ऐसे अलग-अलग मान तब तक देते रहते हैं, जब तक की समीकरण संतुष्ट ना हो जाए। समीकरण जिस मान के लिए संतुष्ट होता है, वह मान उस समीकरण का हल होता है।
उदाहरणार्थ:- समीकरण 𝒙 +1 = 3 को त्रुटि एवं प्रयत्न विधि से हल कीजिए।
हल:-
| समीकरण | 𝒙 + 1 = 3 | |
| 𝒙 के विभिन्न नमन | बाएँ पक्ष (𝒙 +1) का मान | दाएँ पक्ष का दिया हुआ मान |
| 0 | 0 + 1 = 1 | 3 |
| 1 | 1 + 1 = 2 | 3 |
| 2 | 2 + 1 = 3 | 3 |
हम देखते हैं कि 𝒙 के विभिन्न मानों में से केवल 2 ही एकमात्र ऐसा मान है, जो समीकरणों को संतुष्ट करता है।
अतः 𝒙 = 2 समीकरण का हल है।
समीकरण को हल करने की उपयुक्त विधि:- समीकरण के दोनों पक्षों में किसी भी समान संख्या को जोड़ने , घटाने , गुणा करने या भाग देने से समीकरण उसी अवस्था मे बना रहता है।
समीकरण को हल करने की उपयुक्त विधि में प्रयोग की गई जोड़, घटाना, गुणा और भाग की प्रक्रिया को स्वयं सिद्धियां कहते हैं।
उदाहरणार्थ:- समीकरण 𝒙 – 3 = 8 को उपयुक्त विधि से हल कीजिए।
हल:- 𝒙 – 3 = 8
या, 𝒙 – 3 + 3 = 8 + 3 (दोनों पक्षों में 3 जोड़ने पर)
अतः 𝒙 = 11
समीकरण को हल करने की पक्षांतर विधि:- इस विधि में किसी समीकरण को हल करते समय चर संख्या या अचर संख्या को एक पक्ष से दूसरे पक्ष में ले जाते हैं।
समीकरण के पद को पक्षांतर करने के नियम:-
- = –
- = +
× = ÷
÷ = ×
उदाहरणार्थ:- समीकरण 𝒙 + 6 = 9 को पक्षांतर विधि से हल कीजिए
हल:- 𝒙 + 6 = 9
या, 𝒙 = 9 – 6
अतः 𝒙 = 3
किसी कथन को समीकरण का रूप देने के लिए:-
- प्रश्न पढ़कर ढूंढिए की क्या ज्ञात करना है इस अज्ञात मान को चर 𝒙 या 𝒚 या कोई अक्षर संख्या मान लीजिए।
- प्रश्न पुनः पढ़िए चर 𝒙 से युक्त व्यंजक और ज्ञात राशियों में एक समानता का संबंध स्थापित कीजिए।
- यही समीकरण होगा
उदाहरणार्थ:- 5 पुस्तकों का मूल्य ₹7 पुस्तकों का मूल्य से ₹14 कम है। एक पुस्तक का मूल्य बताइए।
हल:- माना एक पुस्तक का मूल्य = ₹5
5 पुस्तकों का मूल्य = ₹5𝒙
7 पुस्तकों का मूल्य = ₹7𝒙
प्रश्नानुसार, 5𝒙 = 7𝒙 – 14
या, 5𝒙 – 7𝒙 = -14 (7𝒙 को पक्षांतर करने पर)
या, -2𝒙 = -14
या, 2𝒙 = 14
या, 𝒙 = 14÷2
अतः 𝒙 = 7
अतः एक पुस्तक का मूल्य ₹7 है।